三维空间是指由三个互相垂直的轴所构成的空间。在这个空间中，任意一个点的位置都可以用三个数值来表示。这三个数值分别对应于该点在三个轴上的坐标，被称为三维坐标系。数学家们通过定义三维向量、矩阵、坐标系等概念，用数学语言来描述三维空间的特性，进而解决三维空间中的问题。
一、三维空间的坐标系
在三维空间中，我们需要定义一个坐标系来表示一个点的位置。一个三维坐标系需要由三个坐标轴构成，而这三个坐标轴是相互垂直的。根据三个坐标轴的方向，我们可以定义出下列三类坐标系。
（1）直角坐标系
直角坐标系是三维坐标系中最基本的坐标系之一。它由三个相互垂直的坐标轴组成，分别是x、y、z轴。在直角坐标系中，每个点都可以用三个实数（x，y，z）来表示。
直角坐标系的一个特点是，它能够用勾股定理求两点之间的距离。设两点分别为P（x1，y1，z1）和Q（x2，y2，z2），则两点之间的距离可以表示为：d = √[(x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²]。
（2）柱面坐标系
柱面坐标系又叫圆柱坐标系，它是由三个坐标轴构成，其中有两个坐标轴处于同一平面内。这两个坐标轴通常被称为θ和r轴，分别代表点到z轴的角度和点到z轴的垂线距离。第三个轴是z轴，代表点在垂直于x-y平面的高度。
因为θ和r轴处于同一平面内，所以柱面坐标系常被用于描述旋转对称体的性质，如圆锥、圆柱等。
（3）球面坐标系
球面坐标系是由三个坐标轴组成，其中第一个轴是距离原点的距离r，第二个轴是点到z轴的角度θ，第三个轴是点到x轴的角度φ。这个坐标系常用于描述在空间中的球形问题，如行星绕着太阳的轨道等。
二、三维向量
向量是一个在空间中有方向的量。三维向量就是有三个分量的向量。三维向量可以用一个三元组表示，也可以用矩阵表示。
例如，向量a可以表示为a=[a1, a2, a3]或者
a = [a1
a2
a3]
三维向量之间的加法和数乘与二维向量的加法和数乘类似。设向量a=[a1, a2, a3]，向量b=[b1, b2, b3]，则它们的和为a+b=[a1+b1, a2+b2, a3+b3]，它们的数乘为k*a=[k*a1, k*a2, k*a3]。
三维向量的模长和方向也可以用向量的三个分量来计算。设向量a=[a1, a2, a3]，则它的模长表示为：|a| = √(a1²+a2²+a3²)。它的方向用与a有相同方向的单位向量来表示，该单位向量可以用向量a模长的倒数乘以向量a表示：a/|a|。
三、三维矩阵
在三维空间中，我们也可以定义三维矩阵。三维矩阵是一个三维数组，可以看作是由若干个平面矩阵组成的集合。三维矩阵的元素由三个下标来表示，如A(i,j,k)。
在计算机图形学和科学计算中，三维矩阵是非常重要的工具。三维矩阵可以用来表示变换操作，如旋转、缩放和平移等。同时，三维矩阵还可以用来表示三维图像和三维模型。
四、三维空间中的曲线和曲面
在三维空间中，曲线和曲面是非常重要的几何对象。曲线是由一系列相连的点组成的连续路径，例如圆、螺旋线等。曲面是由一系列相连的曲线或平面组成的，例如球体、圆锥、圆柱等。
在三维空间中，曲线和曲面的方程通常是比较复杂的。一些常见的曲线和曲面都有对应的数学表达式，例如二次曲面和三次曲线。对于没有公式表达式的曲线和曲面，通常需要使用数值计算方法来求解。
五、三维空间的应用
三维空间在许多领域中都有广泛的应用，例如计算机图形学、工程学、物理学、化学等。在计算机图形学中，三维空间被用来描述三维模型和场景，例如电影、游戏等。在物理学中，三维空间被用来描述物体的运动和位置，例如星球的运动轨迹等。
